今天，我们终于讲到了极值点偏移！
例1 已知函数$f(x)=xe^{-x}$.
(1)若$x_1\ne x_2$,且$f(x_1)=f(x_2)$,求证:$x_1+x_2>2$
拿到这道题，我们肯定会想用极值点偏移写
但是我们还有其他简单方法！
法一:对数均值不等式！
我们先把$x_1,x_2$带入$f(x)$
我们可以得到
$$
\begin{align}
f(x_1) &= f(x_2)\newline
x_1e^{-x_1} &= x_2e^{-x_2}\newline
\end{align}
$$
这个时候形式不怎么明显
我们对两边同时取一下$ln$
我们可以得到
$$
\begin{align}
ln(x_1\cdot e^{-x_1}) &= ln(x_2\cdot e^{-x_2})\newline
lnx_1-x_1&=lnx_2-x_2\newline
lnx_1-lnx_2&=x_1-x_2
\end{align}
$$
我们就得到了$\frac{x_1-x_2}{lnx_1-lnx_2}=1$！
多么标准的对数均值不等式！心宽了
然后我们根据对数均值不等式
$$
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}< \sqrt{ab}< \frac{a-b}{lna-lnb}< \frac{a+b}{2}< \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}
$$
我们就可以得到$\frac{x_1-x_2}{lnx_1-lnx_2}=1 < \frac{x_1+x_2}{2}$
进一步我们就可以得到$x_1+x_2>2$!
之后我们就可以大大的写上
$$
Q.E.D.
$$
好吧其实到这一步我们并没有用极值点偏移
法二：极值点偏移！
$\frac{x}{e^x}$的函数图像不必多说了吧
根据条件我们可以知道$0<x_1<1<x_2$
欲证$x_1+x_2>2$需证$x_1>2-x_2$
因为$x_1<1,2-x_2<1$的极值点都在左侧，单调性相同
我们证明$x_1>2-x_2$就可以转化为证明$f(x_1)>f(2-x_1)$
而$f(x_1)=f(x_2)$那么我们就可以将问题转化为证明$f(x_2)>f(2-x_2)$
我们不妨构造一个函数
$$
F(x) = f(x) - f(2-x) = x{e}^{-x} - (2-x)e^{x-2}
$$
求导可得到
$$F’(x) = (x-1)(e^{x-2} - e^{-x})$$
因为$x_2>1$所以$F(x)$的定义域是$(1,+\infty)$，而$e^{x-2} - e^{-x}>0$我们不用去管，所以$F(x)$在定义域上是单调递增的
那么$x>1$时$F(x)>F(1)=0$
所以$\forall , x>1,f(x) - f(2-x)>0$恒成立
最后我们就可以大大的写上
$$
Q.E.D.
$$